朱载堉是明仁宗朱高炽的第六代孙，是一位杰出的数学家、律学家，他最大的贡献是创立了“新法密率”，即十二平均律，是现在全世界音乐界应用最普遍的一种律制，西方把它作为“标准律制”。十二平均律把八度分成十二个相等的半音，使任意相邻的二个音的音程为21/12。19世纪时，德国伟大的物理学家亥姆霍兹（1821-1894）在他的著作《论音感》一书中多次提及朱载堉的贡献。他在书中说：“在中国人中，据说有一个王子叫朱载堉，他在旧派音乐家的反对中，倡导七声音阶，把八度分成十二个半音以及变调的方法，也是这个有天才和技巧的国家发明的。[1]”可见朱载堉发明的十二平均律对全世界都有很大的影响力。本文分析了十二平均律的创建以及其理论对当时西方音乐律法的影响。

一、人物介绍

朱载堉，字伯勤，于嘉靖十五年（公元1536年）出生于河南怀庆府河内县，即现今的河南沁阳市。朱载堉是我国明代杰出的自然科学家、律学家、音乐家，同时也是一位愤世嫉俗的诗歌作家。科学家的理性思考与艺术家的感性情怀在这位天才人物的身上构成了相依并存、不可思议、和而不同的一体，使他的成就达到明代自然科学及艺术科学的顶峰。他于四十六岁时完成了“新法密率”的计算，比荷兰的斯特芬早了十多年，比法国的默森早了五十五年，他谱写的平均律曲谱比巴赫的《平均律钢琴曲集》还要早三百年[2]。不得不承认，他创建的十二平均律对后世的影响极其深远。

二、新法密律即十二平均律的出现

据记载，朱载堉利用了八十一位的大算盘来计算频率。首先把八度开平方，算得21/2 等于1.，取得十二平均律中的#F，然后再将1.开平方，得八度的四分之一（21/4 =1.，即#D），最后将1.开立方，得21/12等于1.0，朱载堉将此值称为“密率”。《律学新说》卷一《密率律度相求第三》中提到朱载堉算得密率后取得所有十二个平均频率的方法：“创立新法，置一尺为实，以密率除之，凡十二遍。盖十三黄钟为始，应钟为终，终而复始，循环无端。各律皆以黄钟正数十寸乘之为实，皆以应钟倍数十寸零五分九厘四毫六丝三忽零九纤为法除之，即得次律也。”简单来说，即将基音的弦长除以密率，就可以得到按音高顺序排列的下一个半音的弦长，依次顺序除十二遍，就得到了八度中的十二个半音。表1详细列明了计算方法及计算结果。

表1正律倍律律名计算结果 计算方法 今日音名黄钟 1 2 C大吕 0. 1. 2/21/12 = 211/12 B太簇 0. 1. 211/12/21/12 = 210/12 #A夹钟 0. 1. 210/12/21/12 = 29/12 A姑洗 0. 1. 29/12/21/12 = 28/12 #G仲吕 0. 1. 28/12/21/12 = 27/12 G蕤宾 0. 1. 27/12/21/12 = 26/12 #F林钟 0. 1. 26/12/21/12 = 25/12 F夷则 0. 1. 25/12/21/12 = 24/12 E南吕 0. 1. 24/12/21/12 = 23/12 #D无射 0. 1. 23/12/21/12 = 22/12 D应钟 0. 1.0 22/12/21/12 = 21/12 #C清黄钟 0.5 1 21/12/21/12 = 1 C

中国古代一直居统治地位的律制是传统的三分损益律。然而，这种律制无法实现“还相为宫”和象天体运行那样“周而复始”的转调，其原因在于，用“三分损一”产生的五度音程太宽；用“三分益一”产生的四度音程太窄。三分损益不能旋宫是因为它的数学不精。要达到旋宫转调的要求，非十二平均律不可。

十二平均律，朱载堉称为“新法密率”；十二平均律的生律数值，朱载堉称为“密率律度”。与之相对的，他把三分损益律及其生律数值称为“密率”和“密率律度”。朱氏在创建新法密率时提出了音与数的辩证关系：音与数要相吻合，但又不可执一，之间可以变通。这就为他“不用三分损益之法”提出了理论依据。因此，黄翔鹏先生称赞“朱载堉是深通音、数之理的辩证大师”[3]。

朱载堉在这一辩证原则的指导下说：“夫音生于数者也，数真则音无不合矣。若音或有不合，是数之未真也。达音数之理者变而通之，不可执于一也。是故不用三分损益之法。创立新法：置一尺为实，以密率除之，凡十二遍，所求律吕真数比古四种术尤简捷而精密。数与琴音互相校正、最为吻合。惟博学明理之儒、知音善算之士，详味此术，必有取焉者矣，岂庸俗所能识哉？”

在这段纲领性宣言后，朱载堉详细罗列了十二律的“横黍度长”和“纵黍律长”。这些数据即准确的十二平均律的各律数：在“横黍度长”中，黄钟长为10寸，大吕为9.寸，太簇为8.寸，夹钟为8.寸……应钟为5.寸。我们不难继续算出第十三律的清黄钟（准确地为5寸）及其以后的各律。

三、十二平均律的优点