量子场论是目前我们描写微观世界的基本语言，描写所有基本粒子的标准模型就是用量子场论写出来的。但是量子场论有一个很严重的问题——它甚至还不是一个数学上自洽的理论。这是因为有相互作用的量子场论，目前是通过微扰级数展开来描述的。尴尬的是，这一级数展开根本就不收敛。在标准模型中，如果只取级数展开的前几项，标准模型会给出与实验非常接近的结果；但展开项越多，标准模型的结果就与实验差距越大，甚至会趋近于无穷大（参见《文小刚：标准模型还不是一个自洽的理论+温伯格演讲丨众妙之门》）。所以这样定义的量子场论并不自洽，也反映出我们对标准模型没有基本的理解。理论物理、数学物理的先驱一直想给量子场论一个更坚固的基础，找到一个非微扰的数学定义，是今天乃至后面几代数学家和物理学家有待解决的问题。

人们为理解量子场论中的数学而做出的加倍努力，将同时对数学和物理产生深远的影响。

在过去的一个世纪里，量子场论（Quantum Field Theory，QFT）已经被证明是有史以来最全面、最成功的物理学理论。它是一个涵盖了许多具体量子场理论的术语——就像“形状”的概念里面涵盖了正方形、圆形等具体图形。这些理论中最著名的被称为标准模型（Standard Model），正是这种物理学框架取得了如此的成功。

“它可以从根本上解释我们做过的每一个实验。”剑桥大学的物理学家大卫·汤（David Tong）说。

然而，一个无可争辩的事实是，量子场论是不完整的。物理学家和数学家都不知道到底是什么让量子场论成为了量子场论。他们瞥见了全貌，却无法完全理解。

普林斯顿高等研究院的物理学家内森·塞伯格（Nathan Seiberg）表示：“各种迹象表明，我们可能有更好的方法来理解量子场论。正如管中窥豹，还看不到真正的全貌。”

数学，可能是使量子场论完整的语言；因为数学必须满足其内在的一致性，并且注重每一个细节。如果数学能够学会像描述完善的数学对象那样，同样严格地描述量子场论，那么一个更加完整的物理世界图景可能就会随之而来。

“如果你真的能以恰当的数学方式理解了量子场论，那么目前许多开放性的物理问题就有答案了，甚至可能包括引力的量子化。”普林斯顿高等研究院的主任罗伯特·戴克格拉夫（Robert Dijkgraaf）说道。

过去的几个世纪里，物理学中使用的所有其他数学思想都在数学中都有其天然的地位。但量子场论除外。

——内森·塞伯格，普林斯顿高等研究院教授

当然，这也不是一条单行道。千百年来，物理世界一直是数学发展的最伟大的灵感源泉。古希腊人发明了三角学来研究恒星的运动，而数学把它变成了一门有定义和规则的学科，今天的学生学习时不必了解其天文学起源。又过了近2000年，当牛顿想要理解开普勒的行星运动定律时，并试图找到一种严格的方式来思考无穷小的变化，这种冲动（以及莱布尼茨的启示）催生了微积分的诞生。然后数学把它拿了过去并改进——如今微积分已经无处不在。

现在，对于量子场论，数学家们想做同样的事情——将物理学家为研究基本粒子而发展的思想、对象和技术纳入数学的主体。这意味着我们要定义好量子场论的基本特征，这样未来数学家就不必考虑理论最初出现时的物理背景。

这样做的回报很可能是巨大的。当我们发现新的研究对象和新的结构，捕捉到数字、方程和形状之间某些最重要的关系时，数学就会发展。而这些都可以由量子场论来提供。

德克萨斯大学奥斯汀分校的数学家大卫·本-兹维（David Ben-Zvi）说，“物理学作为一种构造，本身是非常深刻的，而且往往会提供更好的方式让我们思考感兴趣的数学问题。物理学恰好是一种很好的形式。”

至少过去40年来，量子场论一直诱惑着有想法的数学家去探索其内涵。而近年来，他们终于开始理解量子场论本身的一些基本对象——将它们从粒子物理学的世界中抽象出来并转化为数学对象。